9  Periodische Signale

9.1 Darstellung von Signalen

Stellen Sie die Signale des angegebenen Netzwerks mit Python (und/oder von Ihnen gewählten alternativen Softwarepaketen des wissenschaflichten Rechnens, z.B. Matlab oder Gnu Octave) dar.

Die Komponenten Werte sind: \(\omega\) = \(2 \pi\) 1 kHz, \(\hat{U}_0\) = 10 V, \(R\) = 30 \(\Omega\), \(L\) = 3 mH, \(\hat{I}_0\) = 0.282 A, \(\varphi_I\) = -32.1 Grad.

Abbildung 9.1: Wechselstromschaltung

9.1.1 Lösung

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f = 10**3  # Grundfrequenz 1 kHz wird auch als 10e3 geschrieben
w = 2 * np.pi * f  # Kreisfrequenz

U0p = 10  # Spannung in Volt
R = 30  # Widerstand in Ohm
L = 3e-3  # Induktivität in Henry
I0p = 0.282  # Strom in  Ampere
phiI = -32.1 * np.pi / 180  # Winkel in rad

t = np.linspace(0, 5e-3, 1000)  # Zeitachse anlegen
u0 = U0p * np.sin(w * t)
i0 = I0p * np.sin(w * t + phiI)
uL = w * L * I0p * np.sin(w * t + phiI + np.pi / 2)  # Spannung über der Spule
uR = R * i0  # Spannung über Widerstand

plt.plot(w * t, u0, label=r'$u_0$')
plt.plot(w * t, uR, label=r'$u_R$')
plt.plot(w * t, uL, label=r'$u_L$')
plt.plot(w * t, i0, label=r'$i_0$')
plt.xlabel(r'$\omega t$')
plt.ylabel(r'$u(t)$')
plt.grid()
plt.legend()

plt.show()

9.2 Überlagerung von sinusförmigen Spannungen mit verschiedenen Frequenzen

Der zeitliche Verlauf einer Spannung mit \(\omega_2 = 3 \omega_1\) sei gegeben durch

\[ u(t) = U_0 + \hat{U}_1 \cos(\omega_1 t) + \hat{U}_2 \cos(\omega_2 t + \varphi). \]

9.2.1 Periodendauer

Wie groß ist die Periodendauer \(T\)?

9.2.1.1 Lösung

Die Periodendauer \(T\) ist der kleinste Zeitabschnitt mit \(u(t+T)=u(t)\).

\[ T = \frac{2 \pi}{\omega_1} \]

9.2.2 Mittelwert

Berechnen Sie den Mittelwert der Spannung \(u(t)\)!

9.2.2.1 Lösung

\[ \overline{u(t)} = \frac{1}{T} \int_0^T u(t) dt = U_0 \]

9.2.3 Effektivwert

Berechnen Sie den Effektivwert \(U_{eff}\) der Spannung \(u(t)\)! Wie läßt sich \(U_{eff}\) aus den Effektivwerten der drei Einzelspannungen berechnen?

Tipp

\[ \frac{1}{T}\int_0^T \cos^2(\omega t)\, dt = \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin(\omega t) \cos(\omega t)}{2 \omega} \right]_0^T = \frac{1}{2} \]

9.2.3.1 Lösung

\[\begin{align} U^2_{eff} &= \frac{1}{T} \int_0^{T} \overline{u^2(t)} dt \\ &= \frac{1}{T} \int_0^{T} ( U_0 + \hat{U}_1 \cos(\omega_1 t) + \hat{U}_2 \cos(\omega_2 t + \varphi) )^2 \\ &= \frac{1}{T} \int_0^{T} ( U^2_0 + 2U_0\hat{U}_1\cos(\omega_1t) + 2U_0\hat{U}_2\cos(\omega_2 t + \varphi) \\ &+ \hat{U}^2_1\cos^2(\omega_1 t) + 2\hat{U}_1\hat{U}_2\cos(\omega_1 t) \cos(\omega_2 t + \varphi) \\ &+ \hat{U}^2_2 \cos^2(\omega_2 t + \varphi) ) \\ &= U_0^2 + \frac{1}{2} \hat{U}_1^2 + \frac{1}{2} \hat{U}_2^2 \\ &= U^2_0 + U^2_{1,eff} + U^2_{2,eff} \end{align}\]

9.2.4 Scheitelfaktor

Wie groß ist der Scheitelfaktor \(U_{max}/U_{eff}\), wenn \(U_0\) = 1 V, \(\hat{U}_1\) = \(\hat{U}_2\) = 100 mV und \(\varphi\) = 60 Grad?

import numpy as np
import scipy.integrate as si
import scipy.optimize as so
import matplotlib.pylab as plt

U0 = 1
U1p = 100e-3
U2p = 100e-3
phi = 60 * np.pi / 180
f1 = 1e3
T = 1 / f1
w1 = 2 * np.pi * f1
w2 = 3 * w1


# Definition der Spannungen als Funktion
def u(t):
    return U0 + U1p * np.cos(w1 * t) + U2p * np.cos(w2 * t + phi)


def u2(t):
    return (U0 + U1p * np.cos(w1 * t) + U2p * np.cos(w2 * t + phi))**2


# Zeit als Vektor
t = np.linspace(0, 5e-3, 3000)

# Darstellung der Funktion
fig1 = plt.figure(1)
plt.plot(t, u(t))
plt.xlabel('Zeit t/s')
plt.ylabel('Spannung u(t)/V')
plt.grid('on')
plt.show()

# Mittelwert der Spannung u(t)
y, err = si.quad(u, 0, T)
u_bar = 1 / T * y
print('Der Mittelwert:', u_bar)

# Effiktivwert der Spannung u(t)
y2, err2 = si.quad(u2, 0, T)
U_eff = np.sqrt(1 / T * y2)
print('Der Effektivwert:', U_eff)


# Berechnung des Scheitelfaktors, Fixpunkt-Iteration
def func(x, c1, c2, c3):
    return 1.0 / 3.0 * (np.arcsin(-c1 / (3 * c2) * np.sin(x)) - c3)


SF = so.fixed_point(func, 1, args=(U1p, U2p, phi), xtol=1e-6)
print('Der Scheitelfaktor:', SF)

9.2.4.1 Lösung

\[\begin{align} U_{max} &= u(t_{max}); \quad \left. \frac{du(t)}{dt} \right\lvert_{t=t_{max}} = 0 \\ \frac{du(t)}{dt} &= -\hat{U}_1\omega_1\sin(\omega_1 t) - \hat{U}_2 \omega_2\sin(\omega_2 t + \varphi) \\ \sin(3\omega_1 t_{max} + \varphi) &= -\frac{\hat{U}_1}{2\hat{U}_2}\sin(\omega_1 t_{max}) \\ \omega_1 t_{max} &= \frac{1}{3} \left( \arcsin \left( -\frac{\hat{U}_1}{3\hat{U}_2} \sin(\omega t_{max} + \varphi) \right) \right) \end{align}\]

Die letzte Gleichung ist eine sog. Fixpunktiteration, deren numerische Lösung im Programmcode formuliert ist. Nach ein paar Iterationschritten erhält man \(\omega_1 t_{max}\) = -0.315. Daraus ergeben sich \(U_{max}\) = 1.195 V und \(U_{eff}\) = 1.005 V.

Der gesuchte Formfaktor berechnet sich zu:

\[ \frac{U_{max}}{U_{eff}} = 1.189 \]

9.3 Schaltungsberechnung in reeller Schreibweise

Abbildung 9.2: Netzwerk zur Schaltungsanalyse

Gegeben sei die in Abbildung 9.2 skizzierte Schaltung mit einer Wechselstromquelle \(i_0(t)=\hat{I}_0 \sin(\omega t)\).

9.3.1 Amplitude und Phase

Berechnen Sie Amplitude und Phasenwinkel jeweils von \(u(t)\), \(i_C(t)\) und \(i_R(t)\)!

9.3.1.1 Lösung

Sei \(u(t)=\hat{U} \sin(\omega t + \varphi_u)\), dann ergeben sich die Ströme zu:

\[\begin{align} i_C(t) &= \omega C \hat{U} \sin(\omega t + \varphi_u + \frac{\pi}{2}) = -\omega C \hat{U} \cos(\omega t + \varphi_u) \\ i_R(t) &= \frac{\hat{U}}{R} \sin(\omega t + \varphi_u). \end{align}\]

Knotengleichung: \(i_0(t) = i_C(t) + i_R(t)\)

\[\begin{align} \hat{I}_0 \sin(\omega t) &= -\omega C \hat{U} \cos(\omega t + \varphi_u) + \frac{\hat{U}}{R} \sin(\omega t + \varphi_u) \\ \hat{I}_0 \sin(m - \varphi_u) &= -\omega C \hat{U} \cos(m) + \frac{\hat{U}}{R} \sin(m), \quad m=\omega t + \varphi_u \\ \hat{I}_0 \left( \sin(m) \cos(\varphi_u) - \cos(m) \sin(\varphi_u) \right) &= -\omega C \hat{U} \cos(m) + \frac{\hat{U}}{R} \sin(m) \\ \end{align}\]

Koeffizientenvergleich:

\[\begin{align} \hat{I}_0 \cos(\varphi_u) &= \frac{\hat{U}}{R} \\ \hat{I}_0 \sin(\varphi_u) &= -\omega C \hat{U} \\ \tan{\varphi_u} = \frac{\sin(\varphi_u)}{\cos(\varphi_u)} &= \frac{-\omega C \hat{U}}{\frac{\hat{U}}{R}} = -\omega R C \\ \varphi_u &= \arctan(-\omega R C) \end{align}\]

\[\begin{align} \hat{I}_0 \cos(\varphi_u) &= \frac{\hat{U}}{R} \\ \hat{U} &= R \hat{I} \cos{\varphi_u} = R \hat{I} \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\varphi)}} \\ &= \frac{R \hat{I}}{\sqrt{1+(\omega R C)^2}} \\ \hat{I}_C &= \omega C \hat{U} \\ \hat{I}_R &= \frac{\hat{U}}{R} \end{align}\]

9.3.2 Spannungsverläufe

Skizzieren Sie mithilfe von Python \(i_0(t)\), \(u(t)\), \(i_C(t)\) und \(i_R(t)\) für \(\hat{I}_0\) = 14.1 mA, \(f\) = 3.183 kHz, \(R\) = 50 \(\Omega\) und \(C\) = 1 \(\mu\) F!

from numpy import pi, sin, linspace
import matplotlib.pylab as plt

f = 3.183e3  # Frequenz kHz
w = 2 * pi * f  # Kreisfrequenz
R = 50  # Widerstand in Ohm
C = 1e-6  # Kapazität in Farad
I0 = 14.1e-3  # Strom
t = linspace(0, 1e-3, 1000)  # Länge der x-Achse und

# Strom- und Spannungfunktionen
i_0 = I0 * sin(w * t)  # Stromquelle
u = 5e-3 * sin(w * t - pi / 4)  # Spannung
i_C = 10e-3 * sin(w * t + pi / 4)  # Strom am Kondensator
i_R = 10e-3 * sin(w * t - pi / 4)  # Strom am Widerstand

# Plot der Signale
plt.figure()
plt.plot(t, i_0, label='$i_0$')
plt.plot(t, u, label='$u$')
plt.plot(t, i_C, label='$i_C$')
plt.plot(t, i_R, label='$i_R$')
plt.xlabel('Zeit t in s')
plt.ylabel('Strom in i(t) mA und Spannung u(t) in 100 mV')
plt.legend(loc='upper right')
plt.grid()
plt.show()

9.3.2.1 Lösung

Mit den Werten ergeben sich folgende Spannungs- und Stromverläufe:

• \(i_0(t)\) = 14.1 mA \(\sin(\omega t)\)

• \(u(t)\) = 0.5 V \(\sin(\omega t - \frac{\pi}{4})\)

• \(i_C(t)\) = 10 mA \(\sin(\omega t + \frac{\pi}{4})\)

• \(i_R(t)\) = 10 mA \(\sin(\omega t - \frac{\pi}{4})\)

9.4 Phasenanschnittsteuerung

(a) Halbwelle

(b) Vollwelle

Abbildung 9.3: Phasenanschnittsteuerung

Das Prinzip der Phasenanschnittsteuerung, bei dem gem. Abbildung 9.3 (a) oder Abbildung 9.3 (b) der Stromfluß in einer Halbwelle auf den zeitlichen Bruchteil \(\pi-\alpha\) begrenzt wird, wird z.B. zum Dimmen von Glühlampen und anderen Kleinverbrauchern im Haushalt verwendet. Der Phasenanschnittwinkel \(\alpha\) kann dabei elektronisch mit Thyristoren im Bereich \(0 \leq \alpha \leq \pi\) eingestellt werden (Wikipedia 2024).

In den hier zu untersuchenden Fällen (a) und (b) wird ein ohmscher Verbraucher mit \(R\) = 100 \(\Omega\) mit Netzspannung (\(U_{0,eff}\) = 230 V, \(\omega\) = 2 \(\pi\) 50 Hz) und Phasenanschnittsteuerung betrieben.

9.4.1 Aufgabe

Berechnen und skizzieren Sie für den durch den Verbraucherwiderstand \(R\) fließenden Strom \(i(t)\) jeweils Mittelwert, Gleichrichtmittelwert und Effektivwert als Funktion vom Phasenanschnittwinkel \(\alpha\)!

9.4.1.1 Lösung

1. Halbwelle

\[\begin{align} \overline{i(t)} &= \frac{1}{T} \int_0^{T} i(t) d t & &= \frac{1}{\omega T} \int_{\alpha}^{\pi}\hat{I}\sin(\varphi) d \varphi \\ &= \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ -\cos(\varphi) \right]_{\alpha}^{\pi} & &= \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ 1+\cos(\varphi) \right] \\ \overline{\lvert i(t) \lvert} &= \frac{1}{T} \int_0^{T} \lvert i(t) \lvert d t & &= \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ 1+\cos(\varphi) \right] \\ I^2_{eff} &= \frac{1}{T} \int_0^{T} \overline{i^2(t)} d t & &= \frac{1}{\omega T} \int_{\alpha}^{\pi}\hat{I}^2\sin^2(\varphi) d \varphi \\ &= \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ \frac{1}{2}\varphi - \frac{1}{4}\sin(2\varphi) \right]_{\alpha}^{\pi} & &= \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ \frac{1}{2}\pi -\frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{4}\sin(2\alpha) \right] \\ I_{eff} &= \hat{I} \sqrt{\frac{\pi-\alpha +\frac{1}{2}\sin(2\alpha)}{4\pi}} & & \end{align}\]

2. Vollwelle

\[\begin{align} \overline{i(t)} &= 0 \\ \overline{\lvert i(t) \lvert} &= 2 \cdot \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ 1+\cos(\varphi) \right] = \frac{\hat{I}}{\pi} \left[ 1+\cos(\varphi) \right] \\ I^2_{eff} &= 2 \cdot \frac{\hat{I}}{2\pi} \left[ \frac{1}{2}\pi-\frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{4}\sin(2\alpha) \right] \\ &= \hat{I} \sqrt{\frac{\pi-\alpha +\frac{1}{2}\sin(2\alpha)}{2\pi}} \end{align}\]

Wikipedia. 2024. „Phasenanschnittsteuerung — Wikipedia, die freie Enzyklopädie“. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Phasenanschnittsteuerung&oldid=246116394.