Stellen Sie die Signale des angegebenen Netzwerks mit Python (und/oder von Ihnen gewählten alternativen Softwarepaketen des wissenschaflichten Rechnens, z.B. Matlab oder Gnu Octave) dar.
Die Komponenten Werte sind: \(\omega\) = \(2 \pi\) 1 kHz, \(\hat{U}_0\) = 10 V, \(R\) = 30 \(\Omega\), \(L\) = 3 mH, \(\hat{I}_0\) = 0.282 A, \(\varphi_I\) = -32.1 Grad.
Abbildung 9.1: Wechselstromschaltung
Lösung
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltf =10**3# Grundfrequenz 1 kHz wird auch als 10e3 geschriebenw =2* np.pi * f # KreisfrequenzU0p =10# Spannung in VoltR =30# Widerstand in OhmL =3e-3# Induktivität in HenryI0p =0.282# Strom in AmperephiI =-32.1* np.pi /180# Winkel in radt = np.linspace(0, 5e-3, 1000) # Zeitachse anlegenu0 = U0p * np.sin(w * t)i0 = I0p * np.sin(w * t + phiI)uL = w * L * I0p * np.sin(w * t + phiI + np.pi /2) # Spannung über der SpuleuR = R * i0 # Spannung über Widerstandplt.plot(w * t, u0, label=r'$u_0$')plt.plot(w * t, uR, label=r'$u_R$')plt.plot(w * t, uL, label=r'$u_L$')plt.plot(w * t, i0, label=r'$i_0$')plt.xlabel(r'$\omega t$')plt.ylabel(r'$u(t)$')plt.grid()plt.legend()plt.show()
Abbildung 9.2: Strom- und Spannungssignale
9.2 Überlagerung von sinusförmigen Spannungen mit verschiedenen Frequenzen
Der zeitliche Verlauf einer Spannung mit \(\omega_2 = 3 \omega_1\) sei gegeben durch
Berechnen Sie den Effektivwert \(U_{eff}\) der Spannung \(u(t)\)! Wie läßt sich \(U_{eff}\) aus den Effektivwerten der drei Einzelspannungen berechnen?
Die letzte Gleichung ist eine sog. Fixpunktiteration, deren numerische Lösung im Programmcode formuliert ist. Nach ein paar Iterationschritten erhält man \(\omega_1 t_{max}\) = -0.315. Daraus ergeben sich \(U_{max}\) = 1.195 V und \(U_{eff}\) = 1.005 V.
Der gesuchte Formfaktor berechnet sich zu:
\[
\frac{U_{max}}{U_{eff}} = 1.189
\]
9.3 Schaltungsberechnung in reeller Schreibweise
Abbildung 9.4: Netzwerk zur Schaltungsanalyse
Gegeben sei die in Abbildung 9.4 skizzierte Schaltung mit einer Wechselstromquelle \(i_0(t)=\hat{I}_0 \sin(\omega t)\).
9.3.1 Amplitude und Phase
Berechnen Sie Amplitude und Phasenwinkel jeweils von \(u(t)\), \(i_C(t)\) und \(i_R(t)\)!
Lösung
Sei \(u(t)=\hat{U} \sin(\omega t + \varphi_u)\), dann ergeben sich die Ströme zu:
\[\begin{align}
i_C(t) &= \omega C \hat{U} \sin(\omega t + \varphi_u + \frac{\pi}{2}) = -\omega C \hat{U} \cos(\omega t + \varphi_u) \\
i_R(t) &= \frac{\hat{U}}{R} \sin(\omega t + \varphi_u).
\end{align}\]
Knotengleichung: \(i_0(t) = i_C(t) + i_R(t)\)
\[\begin{align}
\hat{I}_0 \sin(\omega t) &= -\omega C \hat{U} \cos(\omega t + \varphi_u) + \frac{\hat{U}}{R} \sin(\omega t + \varphi_u) \\
\hat{I}_0 \sin(m - \varphi_u) &= -\omega C \hat{U} \cos(m) + \frac{\hat{U}}{R} \sin(m), \quad m=\omega t + \varphi_u \\
\hat{I}_0 \left( \sin(m) \cos(\varphi_u) - \cos(m) \sin(\varphi_u) \right) &= -\omega C \hat{U} \cos(m) + \frac{\hat{U}}{R} \sin(m) \\
\end{align}\]
Koeffizientenvergleich:
\[\begin{align}
\hat{I}_0 \cos(\varphi_u) &= \frac{\hat{U}}{R} \\
\hat{I}_0 \sin(\varphi_u) &= -\omega C \hat{U} \\
\tan{\varphi_u} = \frac{\sin(\varphi_u)}{\cos(\varphi_u)} &= \frac{-\omega C \hat{U}}{\frac{\hat{U}}{R}} = -\omega R C \\
\varphi_u &= \arctan(-\omega R C)
\end{align}\]
\[\begin{align}
\hat{I}_0 \cos(\varphi_u) &= \frac{\hat{U}}{R} \\
\hat{U} &= R \hat{I} \cos{\varphi_u} = R \hat{I} \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\varphi)}} \\
&= \frac{R \hat{I}}{\sqrt{1+(\omega R C)^2}} \\
\hat{I}_C &= \omega C \hat{U} \\
\hat{I}_R &= \frac{\hat{U}}{R}
\end{align}\]
9.3.2 Spannungsverläufe
Skizzieren Sie mithilfe von Python \(i_0(t)\), \(u(t)\), \(i_C(t)\) und \(i_R(t)\) für \(\hat{I}_0\) = 14.1 mA, \(f\) = 3.183 kHz, \(R\) = 50 \(\Omega\) und \(C\) = 1 \(\mu\) F!
from numpy import pi, sin, linspaceimport matplotlib.pylab as pltf =3.183e3# Frequenz kHzw =2* pi * f # KreisfrequenzR =50# Widerstand in OhmC =1e-6# Kapazität in FaradI0 =14.1e-3# Stromt = linspace(0, 1e-3, 1000) # Länge der x-Achse und# Strom- und Spannungfunktioneni_0 = I0 * sin(w * t) # Stromquelleu =5e-3* sin(w * t - pi /4) # Spannungi_C =10e-3* sin(w * t + pi /4) # Strom am Kondensatori_R =10e-3* sin(w * t - pi /4) # Strom am Widerstand# Plot der Signaleplt.figure()plt.plot(t, i_0, label='$i_0$')plt.plot(t, u, label='$u$')plt.plot(t, i_C, label='$i_C$')plt.plot(t, i_R, label='$i_R$')plt.xlabel('Zeit t in s')plt.ylabel('Strom in i(t) mA und Spannung u(t) in 100 mV')plt.legend(loc='upper right')plt.grid()plt.show()
Abbildung 9.5: Strom- und Spannungsverläufe
Lösung
Mit den Werten ergeben sich folgende Spannungs- und Stromverläufe:
\(i_0(t)\) = 14.1 mA \(\sin(\omega t)\)
\(u(t)\) = 0.5 V \(\sin(\omega t - \frac{\pi}{4})\)
\(i_C(t)\) = 10 mA \(\sin(\omega t + \frac{\pi}{4})\)
\(i_R(t)\) = 10 mA \(\sin(\omega t - \frac{\pi}{4})\)
9.4 Phasenanschnittsteuerung
(a) Halbwelle
(b) Vollwelle
Abbildung 9.6: Phasenanschnittsteuerung
Das Prinzip der Phasenanschnittsteuerung, bei dem gem. Abbildung 9.6 (a) oder Abbildung 9.6 (b) der Stromfluß in einer Halbwelle auf den zeitlichen Bruchteil \(\pi-\alpha\) begrenzt wird, wird z.B. zum Dimmen von Glühlampen und anderen Kleinverbrauchern im Haushalt verwendet. Der Phasenanschnittwinkel \(\alpha\) kann dabei elektronisch mit Thyristoren im Bereich \(0 \leq
\alpha \leq \pi\) eingestellt werden (Wikipedia 2024).
In den hier zu untersuchenden Fällen (a) und (b) wird ein ohmscher Verbraucher mit \(R\) = 100 \(\Omega\) mit Netzspannung (\(U_{0,eff}\) = 230 V, \(\omega\) = 2 \(\pi\) 50 Hz) und Phasenanschnittsteuerung betrieben.
9.4.1 Aufgabe
Berechnen und skizzieren Sie für den durch den Verbraucherwiderstand \(R\) fließenden Strom \(i(t)\) jeweils Mittelwert, Gleichrichtmittelwert und Effektivwert als Funktion vom Phasenanschnittwinkel \(\alpha\)!
