2 Netzwerkerregung
2.1 Schaltzeichen
“In Deutschland sind elektrische Schaltzeichen durch DIN EN 60617 Graphische Symbole für Schaltpläne bzw. IEC 60617 genormt. Sie ersetzen seit 1996–1998 die DIN 40700 / DIN 40900.”
2.2 Erregungsarten
Gleichvorgänge
Nichtperiodische Vorgänge
Periodische Vorgänge, Spezialfall sind harmonische (sinus-, kosinusförmige) Vorgänge mit der Periodendauer \(T\)
Gleichgrößen mit \(x(t)\) = const. werden mit großen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet, Gleichspannung \(U\) und Gleichstrom \(I\)
Zeitveränderliche Größen, hierbei ändert die Erregergröße \(x(t)\) ihre Amplitude und/oder ihre Richtung zeitlich. Der Wert von \(f(t)\) zum momentanen Zeitpunkt heißt Augenblicks- oder Momentanwert \(x(t)\) der physikalischen Größe. Momentanwerte erhalten kleine lateinische Buchstaben, Spannung \(u\) und Strom \(i\).
2.3 Sinusförmige Erregung, periodische Vorgänge
\(x(t)=x(t+nT)\) mit \(n=0, 1 ...\)
Frequenz \(f=1/T\)
Kreisfrequenz \(\omega=2\pi f = 2\pi/T\)
Periodendauer \(T\)
Wechselgröße allgem. \(x(t)=\hat{X} \sin (\omega t +\varphi) = \hat{x} \sin(\omega t + \omega t_0)\)
Scheitelwert, Maximalwert der Amplitude \(\hat{x}=\max{x}=x_{max}\)
Nullphasenwinkel bzw. Nullzeitpunkt \(\varphi=\omega t_0\)
Erregergröße wird aufgetragen mit \(\omega t\) und nicht \(t\); \(\psi(t) = \omega t + \varphi = \omega t + \omega t_0\)
Bogenmaß \(\psi/\mbox{Bogenmaß} = \frac{2 \pi}{360} \psi/\mbox{Grad}\)
2.4 Eigenschaften harmonischer Funktionen
Differentiation, Integration und Addition, Subtraktion mithilfe von Additionstheoremen
Aufspaltung einer harmonischen Schwingung und Koeffizientenvergleich
Bei Addition, Differentiation und Integration von harmonischen Funktionen der Kreisfrequenz \(\omega\) entstehen wieder harmonische Funktionen der gleichen Frequenz, aber veränderter Amplitude und Phase. Bei der Überlagerung zweier harmonischer Größen mit verschiedener Frequenz entsteht zwar eine periodische Schwingung, aber keine Sinusschwingung (harmonische).
2.5 Mittelwerte periodischer Zeitfunktionen
“Da sich der Augenblickswert einer periodisch zeitabhängigen Größe dauernd ändert, ist eine Vereinbarung darüber notwendig, wie der Wert der Größe angegeben werden soll. Der arithmetische (zeitliche) Mittelwert ist zur Kennzeichung im Allgemeinen nicht geeignet, da er beispielsweise bei Wechselgrößen definitionsgemäß Null ist.” [3]
\[\begin{align} \overline{x(t)} &= \frac{1}{T} \int_t^{t+T} x(\tau) \mathrm{d} \tau \end{align}\]
“Denkbar wäre die Angabe des Scheitelwertes, jedoch wird dann der übriege Verlauf der Funktion nicht berücksichtigt. Zweckmäßiger ist daher die Angabe von Kenngrößen, die die mittlere Wirkung von Spannungen und Strömen wiedergeben. Das hat zu der Einführung der nachstehend beschriebenen Mittelwerten von periodisch zeitabhÄngigen Größen geführt.” [3]
\[\begin{align} \overline{\lvert x(t) \lvert} &= \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \lvert x(\tau) \lvert \mathrm{d} \tau \end{align}\]
\[\begin{align} X_{eff} = \sqrt{\overline{x^2(t)}} &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_t^{t+T} x^2(\tau) \mathrm{d} \tau} \end{align}\]
“Bei Wechselgrößen bezeichnet man das Verhältnis des Effektivwertes zum Gleichrichtwert als Formfaktor mit dem Symbol \(F\).” [3]
\[\begin{align} F &= \frac{X_{eff}}{\overline{\lvert x(t) \lvert}} \end{align}\]
“Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert heißt Scheitelfaktor mit dem Symbol \(\sigma\).” [3]
\[\begin{align} \sigma &= \frac{\hat{x}}{X_{eff}} \end{align}\]
2.6 Ideale Netzwerkelemente
Reale Bauteile werden für die Zwecke der Schaltungssimulation durch Ersatz- schaltungen aus idealen Netzwerkelementen beschrieben. Für unsere Belange sind dies Zweipole mit genau definierten Strom-Spannungs-Beziehungen sowie gesteuerte Quellen. Für die Beschreibung aktiver Bauelemente werden zusätzlich gesteuerte Quellen benötigt.
Ein Zweipol ist ein Schaltungselement mit zwei elektrischen Anschlüssen, den Polen oder Klemmen. Der Strom, der durch die eine Klemme in den Zweipol hineinfließt, ist dabei gleich dem durch die andere Klemme aus dem Zweipol herausfließenden Strom. Ein Zweipol heißt passiv wirkend, wenn er elektrische Energie aufnimmt; gibt er elektrische Energie ab, so wird er als aktiv wirkender Zweipol bezeichnet.
Ein Zweipol heißt Widerstand, falls die zwischen seinen Klemmen auftretende Spannung \(u(t)\) zu jedem Zeitpunkt durch den Klemmenstrom \(i(t)\) bestimmt ist
\[ u(t) = u[i(t)]. \]
Der Widerstand heißt linear oder ohmsch, falls Spannung und Strom zueinander proportional sind u(t) = Ri(t). (1.3)
Der Proportionalitätsfaktor \(R\) heißt Widerstand(swert), sein Kehrwert \(G = 1/R\) der Leitwert des Zweipols. Widerstandswerte werden in \(\Omega\) (Ohm) angegeben, Leitwerte in S (Siemens); dabei gilt 1\(\Omega\) = 1 V/A und 1S = 1/\(\Omega\).
Wird der durch einen ohmschen Widerstand fließende Strom als Funktion der Spannung aufgetragen, so ergibt sich eine Gerade.
\[\begin{align} u(t) &= R \cdot i(t) \\ &= R \cdot \hat{i} \sin(\omega t + \varphi_i) \\ &= \hat{u} \sin(\omega t + \varphi_u) \end{align}\]
\[ R = \frac{u(t)}{i(t)} = \frac{\oint \mathbf{E}(\mathbf{r},t) \, ds}{\iint \mathbf{J}(\mathbf{r},t) \, dA} \]
Ein Zweipol heißt Kapazität, falls die in ihm gespeicherte Ladung \(q(t)\) zu jedem Zeitpunkt eindeutig durch die zwischen seinen Klemmen anliegende Spannung \(u(t)\) bestimmt ist
\[ q(t) = q[u(t)]. \]
Der durch eine Kapazität fließende Strom \(i(t)\) ist gleich der Änderung der Ladung der Kapazität mit der Zeit
\[ i(t) = \frac{dq}{dt} \]
Die Kapazität heißt linear, falls \(q(t)\) und \(u(t)\) proportional zueinander sind.
\[ q(t) = C u(t). \tag{2.1}\]
Der Proportionalitätsfaktor \(C\) wird als Kapazität(swert) bezeichnet. Kapazitätswerte werden in F (Farad) angegeben, wobei gilt 1 F = 1 C = 1 As. Im Fall der linearen Kapazität (Gleichung 2.1) über in
\[\begin{align} i(t) &= C \cdot \frac{du_C(t)}{dt} \\ &= \omega C \hat{u} \cos(\omega t + \varphi_u) \\ &= \omega C \hat{u} \sin(\omega t + \varphi_u + \frac{\pi}{2}) \end{align}\]
\[ C = \frac{q(t)}{u(t)} = \frac{\iint \mathbf{D}(\mathbf{r},t) \, dA}{\oint \mathbf{E}(\mathbf{r},t) \, ds} \]
Ein Zweipol heißt Induktivität, falls sein Fluß \(\varphi (t)\) zur Zeit \(t\) eine Funktion des Stroms \(i(t)\) ist
\[ \varphi (t) = \varphi [i(t)]. \]
Die Induktivität heißt linear, falls \(\varphi (t)\) und \(i(t)\) zueinander proportional sind
\[ \varphi (t) = L i(t). \]
Der Proportionalitätsfaktor \(L\) heißt Induktivität(-swert). Induktivitätswerte werden in H (Henry) angegeben, wobei gilt 1 H = 1 Vs/A.
Die an der Induktivität abfallende Spannung \(u(t)\) folgt aus dem Faradayschen Gesetz
\[ u(t) = \frac{d \varphi}{dt} \]
und ist für lineare Induktivitäten proportional zur Änderung des Stroms (Spannungs- und Strompfeil gleichgerichtet)
\[\begin{align} u(t) &= L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} \\ &= \omega L \hat{i} \cos(\omega t + \varphi_i) \\ &= \omega L \hat{i} \sin(\omega t + \varphi_i + \frac{\pi}{2}) \end{align}\]
\[ L = \frac{\varphi(t)}{i(t)} = \frac{\iint \mathbf{B}(\mathbf{r},t) \, dA}{\oint \mathbf{H}(\mathbf{r},t) \, ds} \]