12  Komplexe Zahlen

12.1 Die imaginäre Einheit

Die imaginäre Einheit j ist definiert als:

\[j^2 = -1\]

Für höhere Potenzen von j erhält man:

\[j^2 = -1\]

\[j^3 = -j\]

\[j^4 = 1\]

\[j^5 = j\]

\[j^6 = -1\] usw.

12.2 Aufbau komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen bestehen aus einem Real- und einem Imaginärteil. Sie werden durch einen Unterstrich gekennzeichnet. Ist der Buchstabe nicht unterstrichen, wird von dem Betrag der Komplexen Zahl geredet.

\[\underline{A} = Re\{\underline{A}\} + j \cdot Im\{\underline{A}\}\]

In der Elektrotechnik wird zur Kennzeichnung des Imaginärteils oft der Buchstabe j anstelle des i verwendet, da das i für die Bezeichnung des Stromes vorhergesehen ist.

12.3 Rechenoperationen

12.3.1 Addition von komplexen Zahlen

Zwei Komplexe Zahlen \(\underline{A}\) und \(\underline{B}\) werden addiert, indem ihre Real- und Imaginärteile getrennt voneinander addiert werden.

\[ \underline{A} + \underline{B} = Re\{\underline{A}\} + Re\{\underline{B}\} + j(Im\{\underline{A}\} + Im\{\underline{B}\}) \]

12.3.2 Subtraktion von komplexen Zahlen

Zwei Komplexe Zahlen \(\underline{A}\) und \(\underline{B}\) werden subtrahiert, indem ihre Real- und Imaginärteile getrennt voneinander abgezogen werden.

\[ \underline{A} - \underline{B} = Re\{\underline{A}\} - Re\{\underline{B}\} + j(Im\{\underline{A}\} - Im\{\underline{B}\}) \]

12.3.3 Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag einer komplexen Zahl \(\underline{A}\) ist die Euklidische Länge des Vektors, wenn dieser zum Beispiel in einem Koordinatensystem gezeichnet ist. Der Betrag wird als \(|\underline{A}|\) oder vereinfacht als A geschrieben.

\[ A = |\underline{A}| = \sqrt{Re\{\underline{A}\}^2 + Im\{\underline{A}\}^2} \]

12.3.4 Phasenwinkel einer komplexen Zahl

\[ \varphi = arctan\left(\frac{Im\{\underline{A}\}}{Re\{\underline{A}\}}\right) \]

Der Phasenwinkel wird überlicherweise von 0° bis 180° positiv (Zählweise CCW) und von 180° bis 360° negativ (Zählweise CW) angegeben.

12.3.5 Eulersche Identität und Polarkoordinaten

Komplexe Zahlen können auch als Polarkoordinaten über die Eulersche Identität beschrieben werden. Dabei setzt sich das aus Betrag und Phasenwinkel zusammen.

\[ \underline{A} = Re\{\underline{A}\} + j \cdot Im\{\underline{A}\} = A \cdot e^{j\varphi} \]

12.3.5.1 Eulersche Identität

\[ e^{j\varphi} = cos(\varphi) + j \cdot sin(\varphi) \]

zeigerbild_euler

Die komplexe Zahl \(e^{j\varphi}\) hat immer den Betrag 1 und den Phasenwinkel \(\varphi\).

12.3.6 Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation ist über die Polarkoordinaten einfacher. Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Phasenwinkel addiert.

\[ \underline{A} \cdot \underline{B} = A \cdot B \cdot e^{j(\varphi_A + \varphi_B)} \]

12.3.7 Division komplexer Zahlen

Ähnlich zur Multiplikation wird bei der Division die Beträge dividiert und die Phasenwinkel subtrahiert.

\[ \frac{\underline{A}}{\underline{B}} = \frac{A}{B} \cdot e^{j(\varphi_A - \varphi_B)} \]

12.3.8 Kehrwert einer komplexen Zahl

Beim Kehrwert einer komplexen Zahl wird der Kehrwert des Betrages genommen und das Vorzeichen des Phasenwinkels invertiert.

\[ \frac{1}{\underline{A}} = \frac{1}{A} \cdot e^{-j\varphi} \]

12.3.9 Konjugiert-Komplex

Bei dem konjugiert-komplexen einer Zahl wird das Vorzeichen des Imaginärteils invertiert. Dadurch verändert sich der Betrag nicht, der Phasenwinkel wird allerdings auch invertiert.

\[\underline{A} = Re\{\underline{A}\} + j \cdot Im\{\underline{A}\}\]

\[\underline{A}^* = Re\{\underline{A}\} - j \cdot Im\{\underline{A}\}\]

12.4 Übungen

12.4.1 Aufgabe 2.1

\(\sqrt{-9} + \sqrt{-x^2} - \sqrt{-y^2} + \sqrt{-25}\)

\[3\sqrt{-1} + x\sqrt{-1} - y\sqrt{-1} + 5\sqrt{-1} = j3 + jx - jy + j5 = j(8 +x -y)\]

12.4.2 Aufgabe 2.2

  1. \(\frac{3 j^3 \cdot 5 j^4}{6 j^{20}}\)

  2. \(\frac{1}{j^5} + \frac{1}{j^7}\)

  1. \[\frac{-j3 \cdot 5}{6 i^4} = \frac{-j15}{6} = -j2,5\]

  2. \[\frac{1}{j} + \frac{1}{-j} = -j + j = 0\]

12.4.3 Aufgabe 2.3

  1. \((1 + 2j) - (-2 + 3j) + (-3 + j) - (5 + 4j) - (-1 + 9j) + (5 - 8j)\)

  2. \((-2a + 3j) - (u - uj) + (-2a -3j) - (-u - vj)\)

  1. 1 - j21

  2. -4a + j(u + v)

12.4.4 Aufgabe 2.4

  1. \((5 - 2j)(-3 + j)\) (Ergebnis in kartesischer Form)

  2. \(\left(3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}j\right)\left(3\sqrt{2} - 5\sqrt{3}j\right)\) (Ergebnis in kartesischer Form)

  1. -13 + j11

  2. 93

12.4.5 Aufgabe 2.5

  1. \(\frac{3 + 4j}{2 + j}\)

  2. \(\frac{1}{\sqrt{5} - j}\)

  3. \(\frac{3j}{1 - j}\)

  1. \(\frac{(3 + 4j)(2 - j)}{(2 + j)(2 - j)} = \frac{6 + 8j - 3j + 4}{4 + 1} = 2 + j\)

  2. \(\frac{1(\sqrt{5} + j)}{(\sqrt{5} - j)(\sqrt{5} + j)} = \frac{\sqrt{5} + j}{5 + 1} = \frac{\sqrt{5}}{6} + j\frac{1}{6}\)

  3. \(\frac{3j(1 + j)}{(1 - j)(1 + j)} = \frac{-3 + 3j}{1 + 1}= -\frac{3}{2} + j\frac{3}{2}\)

12.4.6 Aufgabe 2.6

  1. \(\frac{1 + j}{1 - j} + \frac{1 - j}{1 + j}\)

  2. \(\frac{1 - j}{1 + j} - \frac{1 + j}{1 - j}\)

  1. \(\frac{1 + j}{1 - j} + \frac{1 - j}{1 + j} = \frac{(1 + j)^2 + (1 - j)^2}{(1 - j)(1 + j)} = \frac{1 + 2j - 1 + 1 -2j - 1}{1 + 1} = 0\)

  2. \(\frac{(1 - j)^2 - (1 + j)^2}{(1 + j)(1 - j)} = \frac{1 - 2j - 1 - (1 + 2j - 1)}{1 + 1} = \frac{-4j}{2} = -2j\)

12.4.7 Aufgabe 2.7

In die Exponentialform umwandeln:

  1. \(0,5 - \sqrt{6}j\)

  2. \(\sqrt{3} + \sqrt{3}j\)

  3. 3 - 2j

  1. \(2,5 \cdot e^{j \cdot 4,914}\)

  2. \(2,45 \cdot e^{j \cdot \frac{\pi}{4}}\)

  3. \(3,61 \cdot e^{j \cdot 5,695}\)

12.4.8 Aufgabe 2.8

In die arithmetische Form umwandeln:

  1. \(83 e^{j \cdot 1,1083}\)

  2. \(3,8 e^{-j \cdot 5,524}\)

  3. \(e^{0,2 + 1,2j}\)

  1. \(83(cos(1,1083) + j sin(1,1083)) = 37,03 + j74,28\)

  2. \(3,8(cos(-5,524) + j sin(-5,524)) = 2,757 + j2,616\)

  3. \(e^{0,2}(cos(1,2) + j sin(1,2)) = 0,443 + j1,138\)

12.4.9 Aufgabe 2.9

Für \(z_1 = 1,5 - 0,5j\) und \(z_2 = 3 + 0,5j\) die Exponentialform berechnen und die folgende Gleichung in der arithmetischen Form angeben:

\[z = \frac{z_1 \cdot z_2}{z_1 + z_2}\]

\[z_1 = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot e^{-j \cdot 0,322}\]

\[z_2 = \frac{\sqrt{37}}{2} \cdot e^{j \cdot 0,165}\]

\[z_1 + z_2 = 4,5\]

\[\frac{\frac{\sqrt{370}}{4} \cdot e^{j(-0,322 + 0,165)}}{4,5} = 1,069 \cdot e^{-j 0,157} = 1,056 - j0,167\]

12.4.10 Aufgabe 2.10

Bringe den folgenden Term in die Darstellung \(\underline{A} = Re\{\underline{A}\} + j \cdot Im\{\underline{A}\}\):

\[\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}}\]

\[ \frac{1}{j\omega RC} = \frac{1 - j\omega RC}{(1 + j\omega RC)(1- j\omega RC)} = \frac{1}{1 + (\omega RC)^2} - j\frac{\omega RC}{1 + (\omega RC)^2} \]

12.4.11 Aufgabe 2.11

Bringe den folgenden Term in die Darstellung \(\underline{A} = Re\{\underline{A}\} + j \cdot Im\{\underline{A}\}\):

\[\frac{\frac{1}{j\omega C}}{j\omega L + R + \frac{1}{j\omega C}}\]

\[ \frac{1}{- \omega^2 LC + j\omega RC + 1} = \frac{1 - \omega^2 LC - j\omega RC}{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega RC)^2} = \frac{1 - \omega^2 LC}{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega RC)^2} - j\frac{\omega RC}{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega RC)^2} \]