27  Klausurvorbereitung II

27.1 Aufgabe 12.1 (Übertragungsfunktion)

(Weißgerber Aufgabensammlung Abschnitt 3 Aufgabenblatt 3 Aufgabe 1)

In der gezeichneten Schaltung soll die sinusförmige Ausgangsspannung \(u_2\) mit der sinusförmigen Eingangsspannung \(u_1\) in Phase sein.

Abbildung 27.1

Entn. aus (Weißgerber 2015)

  1. Entwickeln Sie das Spannungsverhältnis \(\underline{U}_2/\underline{U}_1\) in Form eines komplexen Nennoperators in algebraischer Form. (Hinweis: \(\frac{1}{Re\{\underline{Z}\} + j Im\{\underline{Z}\}}\))

  2. Bei welcher Kreisfrequenz \(\omega\) ist die obige Bedingung erfüllt?

  3. Wie groß ist dann das Spannungsverhältnis \(\underline{U}_2/\underline{U}_1\), wenn \(R_{Lr} = R_{Lp}\) und \(L_r = L_p\) ist?

\[ \frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{\frac{1}{\frac{1}{R_{Lp}} + \frac{1}{j\omega L_p}}}{\frac{1}{\frac{1}{R_{Lp}} + \frac{1}{j\omega L_p}} + R_{Lr} + j\omega L_r} = \frac{1}{1 + (R_{Lr} + j\omega L_r) \cdot \left( \frac{1}{R_{Lp}} + \frac{1}{j\omega L_p} \right)} = \frac{1}{\left( 1 + \frac{R_{Lr}}{R_{Lp}} + \frac{L_r}{L_p} \right) + j \left( \frac{\omega L_r}{R_{Lp}} - \frac{R_{Lr}}{\omega L_p} \right)} \]

\(u_2\) und \(u_1\) sind in Phase, wenn der Operator reell ist, d.h. der Imaginärteil 0 ist:

\[ \frac{\omega L_r}{R_{Lp}} = \frac{R_{Lr}}{\omega L_p} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{R_{Lr} \cdot R_{Lp}}{L_r \cdot L_p}} \]

\[ \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{3} \]

27.2 Aufgabe 12.2 (Brückenschaltung)

(Weißgerber Aufgabensammlung Abschnitt 3 Aufgabenblatt 5 Aufgabe 2)

Abbildung 27.2

Entn. aus (Weißgerber 2015)

  1. Entwickeln Sie für die gezeichnete Wechselstrombrücke die Abgleichbedingung und die Formel für \(\omega\). Welche Anwendung ergibt sich aus der Abgleichbedingung?

  2. Vereinfachen Sie die Ergebnisse mit \(R_1 = 2 \cdot R_2\), \(R_{r3} = R_{p4} = R\) und \(L_{r3} = L_{p4} = L\).

Lösung 12.2

\[ \frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2} = \frac{\underline{Z}_3}{\underline{Z}_4} \]

\[ \frac{R_1}{R_2} = (R_{r3} + j\omega L_{r3}) \left( \frac{1}{R_{p4}} + \frac{1}{j\omega L_{p4}} \right) \]

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{r3}}{R_{p4}} + \frac{L_{r3}}{L_{p4}} + \frac{j\omega L_{r3}}{R_{p4}} + \frac{R_{r3}}{j\omega L_{p4}} \]

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{r3}}{R_{p4}} + \frac{L_{r3}}{L_{p4}} + j \cdot \left( \frac{\omega L_{r3}}{R_{p4}} - \frac{R_{r3}}{\omega L_{p4}} \right) \]

Vergleich der Real- und Imaginärteile:

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{r3}}{R_{p4}} + \frac{L_{r3}}{L_{p4}} \]

\[ \frac{\omega L_{r3}}{R_{p4}} = \frac{R_{r3}}{\omega L_{p4}} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{R_{r3} \cdot R_{p4}}{L_{r3} \cdot L_{p4}}} \]

Aus der frequenzabhängigen Abgleichbedingung folgt, dass die Wechselstrombrücke für die Messung von Spannungsfrequenzen geeignet ist. Allerdings wird in der Praxis die entsprechende Messbrücke mit Kapazitäten zur Messung von Frequenzen verwendet, weil verschiedene Vergleichsspulen in einer Brücke größer und ungenauer sind als Kapazitäten.

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R}{R} + \frac{L}{L} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{R^2}{L^2}} = \frac{R}{L} \]

27.3 Aufgabe 12.3 (Parallelschwingkreis)

(Weißgerber Aufgabensammlung Abschnitt 3 Aufgabenblatt 5 Aufgabe 3)

Abbildung 27.3

Entn. aus (Weißgerber 2015)

Für den gezeichneten Parallelschwingkreis mit \(R_{Cp} = 500\,\Omega\), \(C_p = 2\,\mu F\), \(R_{Lr} = 100\,\Omega\) und \(L_r = 0,1\,H\) ist die Resonanzkurve zu ermitteln, indem der gezeichnete Schwingkreis in einen Parallelschwingkreis mit idealen Bauelementen \(R_p\), \(C_p\), \(L_p\) überführt wird.

  1. Berechnen Sie die Resonanzkreisfrequenz.

  2. Berechnen Sie \(L_p\), \(R_{Lp}\) und \(R_p\).

  3. Berechnen Sie anschließend die Güte \(Q_p\) des idealen Parallelschwingkreises.

\[ \omega_0 C_p = \frac{1}{\omega_0 L_p} = \frac{\omega_0 L_r}{R^2_{Lr} + \omega^2_0 L^2_r} \]

\[ R^2_{Lr} + \omega^2_0 L^2_r = \frac{L_r}{C_p} \]

oder

\[ \omega^2_0 L^2_r = \frac{L_r}{C_p} - R^2_{Lr} \]

\[ \omega^2_0 = \frac{L_r}{L^2_r C_p} - \frac{R^2_{Lr}}{L^2_r} \]

oder

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{L_r C_p} - \left( \frac{R_{Lr}}{L_r} \right)^2} \]

gleiche Formel wie die des Praktischen Parallel-Resonanzkreises

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{0,1\,H \cdot 2\,\mu F} - \left( \frac{100\,\Omega}{0,1\,H} \right)^2} = 2000\,s^{-1} \]

\[ L_p = \frac{R^2_{Lr} + \omega^2_0 L^2_{r}}{\omega^2_0 L_r} = \frac{(100\,\Omega)^2 + (2000\,s^{-1} \cdot 0,1\,H)^2}{(2000\,s^{-1})^2 \cdot 0,1\,H} = 125\,mH \]

\[ R_{Lp} = \frac{R^2_{Lr} + \omega^2_0 L^2_r}{R_{Lr}} = \frac{(100\,\Omega)^2 + (2000\,s^{-1} \cdot 0,1\,H)^2}{100\,\Omega} = 500\,\Omega \]

\[ R_p = \frac{500\,\Omega}{2} = 250\,\Omega \]

\[ Q_p = \frac{1}{G_p} \cdot \sqrt{\frac{C_p}{L_p}} = R_p \cdot \sqrt{\frac{C_p}{L_p}} = 250\,\Omega \cdot \sqrt{\frac{2\,\mu F}{125\,mH}} = 1 \]