14 Leistungsanpassung und Schwingkreis
14.1 Leistungsberechnung
An eine Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung \(\underline{U}_0\), der inneren Impedanz \(\underline{Z}_i=R_i+j\omega L_i\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) ist ein Widerstand \(R_2\) angeschlossen. In Reihe mit dem Widerstand \(R_2\) soll ein Kondensator \(C_2\) geschaltet werden.
14.1.1 Leistungsaufnahme
Leiten Sie einen Ausdruck für die Leistung in Abhängigkeit der gegebenen Größen her. Wählen Sie dabei eine Darstellungsform, so dass die Kapazität \(C_2=C_{opt}\) des Kondensators bestimmt werden kann, damit die vom Widerstand \(R_2\) aufgenommene mittlere Leistung möglichst groß wird.
\[\begin{align} \underline{S} &= \underline{U} \cdot \underline{I}^* \\ P &= \operatorname{Re}(\underline{S}) = \operatorname{Re}(\underline{U}_{R_2} \cdot \underline{I}^*) \\ &= \operatorname{Re}(R_2 \cdot \underline{I} \cdot \underline{I}^*) = R_2 \vert{\underline{I}}^2\vert \\ &= \frac{1}{2} R_2 \hat{I}^2 = R_2 I_{eff}^2 \\ \underline{I} &= \frac{\underline{U}_0}{R_i+R_2+j(\omega L_i-\frac{1}{\omega C_2})} \\ P &= R_2 \frac{\vert\underline{U}_0\vert^2}{\vert R_i+R_2+j(\omega L_i-\frac{1}{\omega C_2})\vert^2} \\ &= \frac{1}{2} R_2 \frac{\hat{U}_0^2}{(R_i+R_2)^2+(\omega L_i-\frac{1}{\omega C_2})^2} \\ &= \frac{R_2 U_{0,eff}^2}{(R_i+R_2)^2+(\omega L_i-\frac{1}{\omega C_2})^2} \end{align}\]
Daraus folgt, dass die Wirkleistung \(P\) im Resonanzfall maximal wird, wenn \((\omega L_i-\frac{1}{\omega C_2})=0\) gilt.
14.1.2 Bestimmung der Kapazität
Wie groß ist \(C_{opt}\) zu wählen für den Fall \(R_2=90\,\Omega\), \(R_i=10\,\Omega\), \(L_i=20\,mH\), \(U_0=141\,V\) und \(\omega=2\pi 100\,Hz\)
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_i C_{opt}}} \]
\[ C_{opt} = \frac{1}{\omega^2_0 L_i} = 127\,\mu F \]
14.1.3 Maximale Leistung
Welche maximale Leistung nimmt der Widerstand \(R_2\) für den berechneten Fall auf?
\[ P_{max} = \frac{1}{2} R_2 \frac{\hat{U}_0^2}{(R_i+R_2)^2} = 90\,W \]
14.2 Parallelresonanzkreis mit Übertrager
An einen Parallelresonanzkreis ist über einen idealen Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ü=2 die Parallelschaltung eines Widerstandes \(R_2\) und eines Kondensators \(C_2\) angeschlossen. Die Werte der Bauteile lauten \(L_1=1\,\mu H\), \(C_1=100\,pF\), \(R_1=2\,k\Omega\), \(R_2=R_1\) und \(C_2=C_1\). Wie beeinflusst die Parallelschaltung aus \(R_2\) und \(C_2\) die Resonanzfrequenz und die Güte des Parallelschwingkreises?
14.2.1 Ersatzschaltbild
Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild der transformierten Parallelschaltung aus \(R_2\) und \(C_2\).
Impedanztransformation mit einem idealen Übertrager:
\[\begin{align} Z_{2t} &= \mbox{ü}^2 Z_2 \\ Y_{2t} &= \frac{1}{R_{2t}} + j\omega C_{2t} = \frac{1}{\mbox{ü}^2}Y_2 \\ &= \frac{1}{\mbox{ü}^2}\left(\frac{1}{R_2} + j\omega C_2 \right) = \frac{1}{\mbox{ü}^2 R_2} + j \omega \frac{C_2}{\mbox{ü}^2} \\ R_{2t} &= \mbox{ü}^2 R_2 = 4 R_2 \\ C_{2t} &= \frac{C_2}{\mbox{ü}^2} = \frac{C_2}{4} \end{align}\]
14.2.2 Zusammenfassen
Fassen Sie gleichartige Zweipole zusammen.
\[\begin{align} \frac{1}{R_{ges}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{2t}} = \frac{5}{4 R} \\ R_{ges} &= \frac{4}{5} R \\ C_{ges} &= C_1 + C_{2t} = \frac{5}{4} C \end{align}\]
14.2.3 Güte und Resonanz
Bestimmen Sie mit den Bezeichnungen aus der vorherigen Unteraufgabe die Resonanzfrequenz \(\omega_{0t}\) und die Güte \(Q_t\).
\[\begin{align} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = 100\,MHz \\ \omega_{0t} &= \frac{1}{\sqrt{L_1 C_{ges}}} = \sqrt{\frac{4}{5}} \omega_0 = 89.44\,MHz \\ Q &= \frac{R_p}{\omega_0 L_p} = \frac{1}{G_p}\sqrt{\frac{C_p}{L_p}} = 20 \\ Q_t &= \frac{1}{G_{ges}}\sqrt{\frac{C_{ges}}{L_1}} = R_{ges}\sqrt{\frac{C_{ges}}{L_1}} \\ &= \frac{4}{5}\sqrt{\frac{5}{4}}Q = \sqrt{\frac{4}{5}} Q = 17.89 \end{align}\]