26 Klausurvorbereitung I
Gerade unter Konstruktion!!!
26.1 Aufgabe 11.1 (Übertragungsfunktion)
(Weißgerber Klausursammlung Abschnitt 3 Aufgabenblatt 1 Aufagbe 1.1)
Entn. aus (Weißgerber 2015)
Ermitteln Sie das Spannungsverhältnis \(\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1}\). Die Hilfsspannung \(\underline{U}_h\) soll die Lösung erleichern.
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_h} \cdot \frac{\underline{U}_h}{\underline{U}_1}\]
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_h} = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}}\]
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{\frac{\left( R + \frac{1}{j\omega C}\right)\cdot \frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{2}{j\omega C}}}{\frac{\left( R+ \frac{1}{j\omega C}\right)\cdot \frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{2}{j\omega C}} + R} = \frac{\left( R + \frac{1}{j\omega C}\right) \cdot \frac{1}{j\omega C}}{\left( R + \frac{1}{j\omega C}\right)\cdot \frac{1}{j\omega C} + R \cdot \left( R + \frac{2}{j\omega C}\right)}\]
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} \cdot \frac{\left( R + \frac{1}{j\omega C}\right) \cdot \frac{1}{j\omega C}}{\left( R + \frac{1}{j\omega C}\right)\cdot \frac{1}{j\omega C} + R \cdot \left( R + \frac{2}{j\omega C}\right)}\]
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{\left( \frac{1}{j\omega C}\right)^2}{\left(R + \frac{1}{j\omega C}\right)\cdot \frac{1}{j\omega C} + R \cdot \left( R + \frac{2}{j\omega C}\right)^2}\]
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{1}{R \cdot j\omega C + 1 + R^2 \cdot (j\omega C)^2 + 2\cdot R\cdot j\omega C}\]
\[\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{1}{(1 - \omega^2 R^2 C^2) + j\omega 3RC}\]
26.2 Aufgabe 11.2 (Schwingkreis)
(Weißgerber Klausursammlung Abschnitt 3 Aufgabenblatt 4 Aufgabe 2)
Entn. aus (Weißgerber 2015)
Entwickeln Sie die Formel für den komplexen Widerstand \(\underline{Z}\) der gezeichneten Schaltung in algebraischer Form (Real- und Imaginärteil soll getrennt sein).
Berechnen Sie den Wert der Induktivität \(L_p\), damit bei gegebenen Größen \(C_r = 2\,\mu F\), \(R_p = 1\,k\Omega\) und \(\omega = 1000 s^{-1}\) die Schaltung in Resonanz ist.
Kontrollieren Sie das Ergebnis für \(L_p\), indem Sie den komplexen Widerstand \(\underline{Z}\) berechnen.
Aufstellen der Gleichung und konjugiert-komplex erweitern:
\[\underline{Z} = \frac{1}{j\omega C_r} + \frac{1}{\frac{1}{R_p} + \frac{1}{j\omega L_p}} = -j \cdot \frac{1}{\omega C_r} + \frac{1}{\frac{1}{R_p}- j\frac{1}{\omega L_p}} \cdot \frac{\frac{1}{R_p} + j\frac{1}{\omega L_p}}{\frac{1}{R_p} + j\frac{1}{\omega L_p}}\]
Ausmultiplizieren und umstellen:
\[\underline{Z} = -j\frac{1}{\omega C_r} + \frac{\frac{1}{R_p}}{\frac{1}{R_p^2} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2}} + j\frac{\frac{1}{\omega L_p}}{\frac{1}{R_p^2} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2}} = \frac{\frac{1}{R_p}}{\frac{1}{R_p^2} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2}} + j \left( \frac{\frac{1}{\omega L_p}}{\frac{1}{R_p^2} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2}} - \frac{1}{\omega C_r} \right)\]
Resonanzbedingung: \(Im\{\underline{Z}\} = 0\)
\[\frac{\frac{1}{\omega L_p}}{\frac{1}{R_p^2} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2}} = \frac{1}{\omega C_r}\]
\[\frac{1}{\omega L_p} = \frac{1}{\omega C_r} \cdot \left( \frac{1}{R_p^2} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2} \right) = \frac{1}{\omega R_p^2 C_r} + \frac{1}{\omega^3 L_p^2 C_r}\]
\[\frac{1}{L_p} = \frac{1}{R_p^2 C_r} + \frac{1}{\omega^2 L_p^2 C_r}\]
\(\cdot (\omega^2 \cdot C_r \cdot L_p^2)\):
\[\omega^2 L_p C_r = \omega^2 \frac{L_p^2}{R_p^2} + 1\]
eine Seite nach 0 umstellen und \(\cdot (\frac{R_p^2}{\omega^2})\):
\[L_p^2 - R_p^2 C_r \cdot L_p + \frac{R_p^2}{\omega^2} = 0\]
pq-Formel:
\[L_{p1,2} = \frac{R_p^2 C_r}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{R_p^2 C_r}{2} \right)^2 - \frac{R_p^2}{(1000 s^{-1})^2}} = \frac{(1\,k\Omega)^2 \cdot 2\,\mu F}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{(1\,k\Omega)^2 \cdot 2\,\mu F}{2} \right)^2 - \frac{(1\,k\Omega)^2}{(1000 s^{-1})^2}}\]
\[L_p = 1\,H\]
\[\underline{Z} = -j \frac{1}{\omega C_r} + \frac{R_p \cdot j\omega L_p}{R_p + j\omega L_p} = -j \frac{1}{1000 s^{-1} \cdot 2\,\mu F} + \frac{1\,k\Omega \cdot j \cdot 1000 s^{-1} \cdot 1\,H}{1\,k\Omega + j \cdot 1000 s^{-1} \cdot 1\,H} = 500\,\Omega\]
26.3 Aufgabe 11.3 (Anpassung)
(Weißgerber Klausursammlung Abschnitt 3 Aufgabenblatt 1 Aufgabe 3)
Entn. aus (Weißgerber 2015)
Der Widerstand R soll mit Hilfe der Induktivität L un der Kapazität C an den Widerstand der Energiequelle angepasst werden.
Entwicklen Sie zunächst die Bedingung für die Anpassung von aktivem und passivem Zweipol.
Berechnen Sie die Werte für L und C für den Fall, dass der Widerstand \(R = 10\,\Omega\) einschließlich der Schaltelemente L und C an die Energiequelle mit dem Innenwiderstand \(R_i = 100\,\Omega\) bei einer Frequenz \(f = 100\,Hz\) angepasst ist.
Kontrollieren Sie die Ergebnisse für L und C, indem Sie den Ersatzleitwert \(\underline{Y}_a\) des passiven Zweipols berechnen.
Anpassbedingung:
\[\underline{Z}_a = \underline{Z}_i^*\]
\[\underline{Y}_a = \underline{Y}_i^*\]
Der passive Zweipol ist eine Parallelschaltung, daher bietet sich die Anpassbedingung für Leitwerte an.
\[j\omega C + \frac{1}{R + j\omega L} = \frac{1}{R_i}\]
\[j\omega C + \frac{1}{R + j\omega L} \cdot \frac{R - j\omega L}{R - j\omega L} = \frac{1}{R_i}\]
\[\frac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} - j\left( \omega C - \omega \frac{L}{R^2 + \omega^2 L^2}\right) = \frac{1}{R_i}\]
Vergleich Realteil:
\[\frac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} = \frac{1}{R_i}\]
\[R \cdot R_i = R^2 + \omega^2 L^2\]
\[L = \frac{\sqrt{R \cdot R_i - R^2}}{\omega} = \frac{\sqrt{10\,\Omega \cdot 100\,\Omega - (10\,\Omega)^2}}{2\pi \cdot 100\,Hz} = 47,74\,mH\]
Vergleich Imaginärteil:
\[j\omega C = j\omega \cdot \frac{L}{R^2 + \omega^2 L^2}\]
\[C = \frac{L}{R^2 + \omega^2 L^2} = \frac{47,74\,mH}{(10\,\Omega)^2 + (2\pi \cdot 100\,Hz)^2 \cdot (47,74\,mH)^2} = 47,74\,\mu F\]
\[\underline{Y}_a = j\omega C + \frac{1}{R + j\omega L} = j\cdot 2\pi \cdot 100\,Hz \cdot 47,74\,\mu F + \frac{1}{10\,\Omega + j \cdot 2\pi \cdot 100\,Hz \cdot 47,74\,mH} = 10\,mS = \frac{1}{R_i} = \frac{1}{100\,\Omega}\]
Bei dem direkten Einsetzten in die Formel bekommt man einen kleinen Imaginärteil (im Bereich \(10^{-6}\)) heraus. In der Originallösung wurde mit Zwischenschritten gearbeitet und gerundet, daher war in der Lösung nur ein reiner Realteil.
26.4 Aufgabe 11.4 (Transformator)
(Vaske/Fricke Beispiel 3.117)
Entn. aus (Fricke und Vaske 1982)
Ein Einphasentransformator für die Nennleistung \(S_N = 500\,kVA\) hat das Leerlauf-Spannungsübersetzungsverhältnis \(\frac{U_1}{U_2} = \frac{20\,kV}{400\,V}\), den relativen Leerlaufstrom \(i_l = 0,015\), die Leerlaufleistungsaufnahme \(P_t = 1\,kW\), die relative Kurzschlussspannung \(u_k = 0,06\) und die Kurzschlussleistungsaufnahme \(P_k = 8\,kW\).
Die auf die Oberspannungsseite bezogenen Widerstände der symmetrischen Ersatzschaltung von dem Bild sind zu bestimmen.
Tipp:
relativer Leerlaufstrom:
\[i_l = \frac{I_l}{I_N}\]
relative Kurzschlussspannung:
\[u_k = \frac{U_k}{U_N}\]
Berechnung des fiktiven Nennscheinwiderstand:
\[Z_{1N} = \frac{U_{1N}}{I_{1N}} = \frac{U_{1N}^2}{S_N} = \frac{(20\,kV)^2}{500\,kVA} = 800\,\Omega\]
Leerlaufversuch:
Wirkfaktor:
\[\cos_{\varphi_l} = \frac{P_l}{i_l \cdot S_N} = \frac{1\,kW}{0,015 \cdot 500\,kVA} = 0,133\]
Scheinwiderstand:
\[Z_{1l} = \frac{U_{1N}}{I_{1l}} = \frac{Z_{1N}}{i_l} = \frac{800\,\Omega}{0,015} = 53,33\,k\Omega\]
die Längswiderstände werden vernachlässigt (Leerlaufversuch):
\[R_{Fe}^{\prime} = \frac{Z_{1l}}{\cos(\varphi_l)} = \frac{53,33\,k\Omega}{0,133} = 400\,k\Omega\]
\[X_h^{\prime} = \frac{Z_{1l}}{\sin(\varphi_l)} = \frac{53,33\,k\Omega}{0,9911} = 53,81\,k\Omega\]
Kurzschlussversuch:
Wirkfaktor:
\[\cos(\varphi_k) = \frac{P_k}{u_k \cdot S_N} = \frac{8\,kW}{0,06 \cdot 500\,kVA} = 0,2667\]
Scheinwiderstand:
\[Z_{1k} = \frac{U_{1k}}{I_{1k}} = u_k \cdot Z_{1N} = 0,06 \cdot 800\,\Omega = 48\,\Omega\]
die Querwiderstände werden vernachlässigt (Kurzschlussversuch):
\[R_1 = R_2^{\prime} = \frac{Z_{1k} \cdot \cos(\varphi_k)}{2} = \frac{48\,\Omega \cdot 0,2667}{2} = 6,4\,\Omega\]
\[X_{1\sigma} = X_{2\sigma}^{'} = \frac{Z_{1k} \cdot \sin(\varphi_k)}{2} = \frac{48\,\Omega \cdot 0,9638}{2} = 23,13\,\Omega\]